Concours ENSCK 2021 Mathématiques

Question 36

Soient \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \) les suites définies par : \( u_0 = 1 \), \( u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 2} \) et \( v_n = \frac{u_n}{u_n + 1} \). Alors :

A) \( \forall n \geq 0, v_{n+1} = 1 + v_n \) B) \( \forall n \geq 0, v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \) C) \( \forall n \geq 0, v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \) D) \( v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n \)

Question 37

Pour la même suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) de la question Q36. Alors :

A) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \) B) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \) C) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = -1 \) D) \( \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \)

Question 38

Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\), si \( z = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) alors :

A) \( |z - 1| = 1 \) et \( \arg(z - 1) \equiv \frac{5\pi}{3} [2\pi] \) B) \( |z - 1| = 1 \) et \( \arg(z - 1) \equiv \frac{11\pi}{6} [2\pi] \) C) \( |z - 1| = \sqrt{3} \) et \( \arg(z) \equiv \frac{5\pi}{3} [2\pi] \) D) \( |z - 1| = \sqrt{3} \) et \( \arg(z) \equiv \frac{11\pi}{6} [2\pi] \)

Question 39

La limite \( \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) est égale à :

A) 1 B) \( e \) C) \( +\infty \) D) 0

Question 40

La linéarisation de l'expression \( \sin(x)\cos(2x) \) est donnée par :

A) \( \frac{1}{2}(\cos(3x) + \sin(x)) \) B) \( \frac{1}{2}(\sin(3x) - \cos(x)) \) C) \( \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin(x)) \) D) \( \frac{1}{2}(\cos(3x) - \sin(x)) \)

Question 41

On considère la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par : \( u_n = \frac{1}{2^n} \). On pose \( S = \sum_{k=5}^{12} u_k \). Alors :

A) \( S = \left(\frac{1}{2}\right)^8 - \left(\frac{1}{2}\right)^{17} \) B) \( S = \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \left(\frac{1}{2}\right)^8 \) C) \( S = \left(\frac{1}{2}\right)^5 - \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \) D) \( S = \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \)

Question 42

Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) deux nombres complexes tels que : \( z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \) et \( z_2 = -3i \). Alors :

A) \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}e^{\frac{3i\pi}{4}} \) B) \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}e^{\frac{i\pi}{4}} \) C) \( z_1z_2 = 6e^{\frac{-i\pi}{4}} \) D) \( z_1z_2 = 6e^{\frac{i\pi}{4}} \)

Question 43

Cocher la bonne réponse :

A) \( \int_{0}^{\pi} \cos(x)\sin(x)dx = 1 \) B) \( \int_{0}^{1} xe^{1-x}dx = 3 - e \) C) \( \int_{1}^{e} (x+1)\ln(x)dx = \frac{e^2+5}{4} \) D) \( \int_{4}^{\pi} \frac{(\ln(x))^2 dx}{x} = 1 \)

Question 44

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite géométrique de premier terme \( u_0 = 2 \) et de raison \( \frac{1}{2} \). La somme \( \ln(u_0) + \ln(u_1) + \dots + \ln(u_n) \) est égale à :

A) \( \frac{1}{2}(n+1)(2-n)\ln(2) \) B) \( \frac{1}{2}(n-1)(2-n)\ln(2) \) C) \( \frac{1}{2}(n-2)(1+n)\ln(2) \) D) \( \frac{1}{2}(n+2)(1-n)\ln(2) \)

Question 45

Soient \( z_1, z_2 \) les solutions complexes de l'équation \( z^2 - 4z + 8 = 0 \). Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points \( M_1 \) et \( M_2 \) d'affixes respectives \( z_1 \) et \( z_2 \). Alors :

A) \( z_1 = -2 - 2i \) et \( z_2 = -2 + 2i \) B) \( \mathcal{Re}(z_1) = -\mathcal{Re}(z_2) \) C) \( M_1 \) et \( M_2 \) sont sur le cercle de centre O et de rayon \( 3\sqrt{2} \). D) \( OM_1M_2 \) est un triangle isocèle en O.

Question 46

Soit la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \( f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \in ]0,2] \\ -x+4 & \text{si } x \in ]2,4[ \end{cases} \). Alors :

A) \( f \) est dérivable au point 2. B) \( f \) n'est pas continue au point 2. C) \( f \) n'est pas dérivable au point 2. D) \( f \) n'est ni dérivable ni continue au point 2.

Question 47

On considère la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \( f(x) = x\left(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right) \). Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). Alors :

A) La courbe C est située au-dessus de la droite (D) d'équation \(y=x\) sur l'intervalle \([0,+\infty[\). B) La droite (D) d'équation \( y = x \) est une asymptote oblique de C au voisinage de \(+\infty\). C) \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = -1 \) D) La droite (D) d'équation \( y = x \) coupe C sur \([1,+\infty[\).

Question 48

On considère la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = e^{-x}\ln(|1 - e^x|) \). Son domaine de définition est :

A) \( \mathbb{R}^* \) B) \( ]-\infty, 0] \) C) \( ]-\infty, 0[ \) D) \( ]1, +\infty[ \)

Question 49

La limite \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) de la fonction de la question Q48 est égale à :

A) \( +\infty \) B) -1 C) \( -\infty \) D) 1

Question 50

Pour tout \( x \in D_f \), la dérivée \( f'(x) \) de la fonction de la question Q48 vérifie :

A) \( f'(x) + f(x) = -\ln(|1 - e^x|) \) B) \( f'(x) + f(x) = -e^{-x} \) C) \( f'(x) + f(x) = 0 \) D) \( f'(x) + f(x) = \frac{-1}{1 - e^x} \)

Concours ENSCK Kénitra 2021

Épreuve de Mathématiques